Start Thesis

Wyznaczanie współczynników Fouriera dla struktur periodycznych metodą analityczną

Research Area: Magnonics
Status: Finished Degree: Bachelor
Directors: Students:
Attachements:
Szymon Mieszczak, 2015

Celem pracy było zaprezentowanie jednej z teoretycznych metod badawczych stosowanych do analizy widmowej dwuwymiarowych kompozytów periodycznych takich jak: kryształy fononiczne, fotoniczne, czy magnoniczne, które są powszechnie stosowane w nanotechnologii. W pracy przedstawiono podstawy metody fal płaskich (MFP), a w szczególności skupiono się na metodach wyznaczania współczynników Fouriera dla periodycznych struktur, co jest konieczne do numerycznej implementacji tej metody. W pracy został wprowadzony niezbędny aparat pojęciowy, stosowany do opisu periodyczności ciał stałych. Kolejnym krokiem było wprowadzenie do teorii szeregów Fouriera - niezwykle skutecznej metody matematyki stosowanej służącej, w tym przypadku do opisu struktur okresowych. Głównym celem było omówienie analitycznej metody wyznaczania współczynników Fouriera dla bi-kompozytowych struktur periodycznych i rozkład przestrzennej zależności parametrów materiałowych tych struktur w bazie fal płaskich. Takie obliczenia, pozwoliły dalej na wykorzystanie ich w rachunkach numerycznych. Opracowano program, którego zadaniem była weryfikacja wyników (tj. wyznaczonych analitycznie współczynników Fouriera), poprzez odtworzenie struktury w formie szeregu fal płaskich o odpowiednich zespolonych amplitudach (wyznaczonych współczynnikami Fouriera). Końcowym etapem było przedstawienie schematu postępowania, przy rozwiązywaniu równania różniczkowego cząstkowego z periodycznymi współczynnikami. MFP została przedstawiona na przykładzie jednowymiarowego kryształu fotonicznego.

Praca składa się z trzech zasadniczych rozdziałów poprzedzonych wstępem i zakończonych podsumowaniem:

• Rozdział pierwszy dotyczy podstawowych definicji związanych z ciałem stałym jako układem periodycznym. W rozdziale sformułowano i opisano czym jest sieć Bravais'go, prymitywna komórka elementarna, oraz wprowadzono związane z nią definicje, potrzebne w dalszej części pracy.

• Rozdział drugi traktuje o wyznaczaniu współczynników Fouriera. Punktem wyjścia do rozważań teorii Fouriera było pojęcie funkcji periodycznej. Dalej pokazano sposób zachowania się szeregów z zależności od ilości wyrazów. Omówiono tutaj zbieżność szeregów Fouriera oraz efekt Gibasa. Dalej został poruszony problem zachowania się współczynników przy geometrycznych transformacjach rdzenia wewnątrz komórki elementarnej. Zostały podane analityczne formuły na przekształcenia izometryczne związane z obrotem i przesunięciem rdzenia. Następnie zostały policzone współczynniki Fouriera dla podstawowych struktur periodycznych. Wyniki w postaci formuł analitycznych zostały wykorzystane w programie komputerowym, wyznaczającym numerycznie ich wartość oraz odtwarzającym strukturę poprzez odwrotną transformację. Na końcu zostały zaprezentowane wyniki działania programu.

• Rozdział trzeci prezentuje działanie metody fal płaskich jako efektywnego narzędzia do rozwiązywania równania różniczkowego cząstkowego z periodycznymi współczynnikami. Przedstawiono w nim algorytm ilustrujący sposób rozwiązywania równania różniczkowego, a później na prostym przykładzie jednowymiarowego kryształu fotoniczneego, zaprezentowano jak sprowadzić równanie różniczkowe do zagadnienia własnego. Zostało także zaprezentowane rozwiązanie tego zagadnienia w postaci zależności dyspersyjnej.